2015 年黑龙江预赛 · 第 20 题

解答

取 $A=(0,0,0),D=(0,1,0),B=(1,0,0),C=(2,1,0),P=(0,1,\sqrt{2})$，则 $E=(2,1,\sqrt{2}),F=(0,1/2,\sqrt{2}/2)$。（1）矩形对角线交点 $N$ 是 $PC$ 中点，故三角形 $PAC$ 中 $FN\Vert AC$；$F,N$ 都在面 $DEF$ 内。该面为 $x-2y-\sqrt{2}z+2=0$，$A$ 不在面内，所以 $\boxed{AC\Vert \text{面 }DEF}$。（2）沿 $BC$ 取 $w=(1,1,0)$，两侧方向 $u=A-B=(-1,0,0),v=P-B=(-1,1,\sqrt{2})$。垂棱投影的点积为一，模分别为 $1/\sqrt{2},2$，故 $\boxed{\angle (A-BC-P)=45^{\circ }}$。（3）设 $Q=F+t(E-F)$，$0\le t\le 1$。面 $BCP$ 的法向为 $n=(1,-1,\sqrt{2})$，模为二。由 $BQ=(2t-1,(1+t)/2,\sqrt{2}(1+t)/2)$，其线面角 $\phi$ 满足 $\sin \phi =|5t-1|/[2\sqrt{19t^2-10t+7}]$。令它等于二分之一，得 $t^2=1$，只 $t=1$ 在线段上。所以存在且仅有 $Q=E$，并有 $\boxed{FQ=FE=\sqrt{19}/2}$。