培玉 · 一试

专题地图 › 向量与复数

向量的概念与运算

从这里开始

先统一起点，再用独立基底读系数

能把不同起点的边向量改写到同一起点，检查基底是否独立，再用系数判断点的位置和面积。

四题目标训练：先试一题 → 换条件应用 → 辨析条件差异 → 换题验证。

开始四题目标训练

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

向量首先表示有方向的位移；选定原点后，点才能用位置向量参加计算。先统一起点、核清基底是否独立，再处理中心、平移旋转和面积。系数之和为一、系数分别在区间内变化、系数自由取实数，是三种不同约束，不能混用。

1. 先修与破题直觉：先选定原点：点用位置向量表示，边用差向量表示。 $A (1, 2)$ 、 $B (4, 6)$ 时 $A B = (3, 4)$ ；换一个原点， $A, B$ 的位置向量都会改变， $A B$ 却不变。

2. 核心条件辨析：比较系数前，确认两个基向量不共线；位置向量的系数和为 $1$ 才是不依赖原点的仿射组合，再要求系数非负才落在三角形内；奔驰定理中每个顶点的系数，对应的是不含该顶点的那个子三角形的面积。

3. 典型误区对比：先读内心权重把 $B, C$ 写反、奔驰定理面积对应错位两组红绿卡，再做自测。写权重前先标出每个系数挂在哪个顶点上。

4. 方法迁移带练：若 $P$ 在 $△ A BC$ 内且 $3 P A + PB + 2 PC = 0$ ，则 $S_{△ PBC} : S_{△ PC A} : S_{△ P A B} = 3 : 1 : 2$ ，所以 $S_{△ P A B} : S_{△ A BC} = 2 : 6 = 1 : 3$ 。旋转的例子：绕 $H (1, 1)$ 逆时针转直角，先算位移 $H P$ ；对 $P (2, 4)$ 位移为 $(1, 3)$ ，转后为 $(- 3, 1)$ ，加回中心得 $(- 2, 2)$ 。

5. 分级真题实战：先练“统一起点与基底比较”，再练“重心与内心的仿射权重”和“奔驰定理与四心向量坐标转换”；之后进入“识别平移旋转及其不变量”“面积、系数行列式与等高线”，最后挑战“多系数线性表示的参数空间”。

先修（培玉高中数学）：平面向量的概念平面向量的运算平面向量基本定理及坐标表示平面向量的应用

知识要点

点的位置依赖原点，差向量不依赖

选定原点 $O$ 后，用 $a = O A$ 表示点 $A$ 的位置；边向量为 $A B = b - a$ 。例： $A = (1, 2), B = (4, - 1)$ ，差向量为 $(3, - 3)$ 。把坐标原点移到 $(2, 1)$ 后，两点新坐标为 $(- 1, 1), (2, - 2)$ ，相减仍为 $(3, - 3)$ 。未约定位置向量时，不把点本身直接当自由向量。

首尾相接与数乘都带方向

$A B + BC = A C$ ，反向边则变号。例：两段依次为 $(2, 1), (- 1, 3)$ ，合位移为 $(1, 4)$ 。对非零向量 $u$ ， $- 2 u$ 与它反向，长度是其两倍。按线性相关理解共线时，零向量也与任意向量共线，但零向量不能提供方向、夹角或非零长度比，应用几何平行条件时须单查。

比较系数须先有独立基底

平面内两向量不共线时，任一向量在它们下的表示唯一；共线或含零向量时不能无条件比较系数。例： $u = (1, 0), v = (1, 2)$ ，有 $(5, 6) = 2 u + 3 v$ ，由第二分量先定系数。若改成 $v = 2 u$ ，则 $3 u = 3 u + 0 v = u + v$ ，表示不唯一。

位置系数和为一才是仿射组合

用同一原点的位置向量表示点，系数和为 $1$ 的组合在改变原点后保持同一个点；再要求系数非负，就得到三角形内的凸组合。系数各自在 $[0, 1]$ 独立变化并不含系数和条件。例：三个点位置为 $(1, 0), (0, 1), (- 1, - 1)$ ，系数 $(1, 1, 0)$ 给出 $(1, 1)$ ，它已在原三角形之外，不能误称内点。

奔驰定理与四心（重、内、外、垂）的仿射权重

对 $△ A BC$ 内部任意一点 $P$ ，恒成立奔驰定理：

S_{△ PBC} P A + S_{△ PC A} PB + S_{△ P A B} PC = 0 .

逆过来，若正实数 $α, β, γ$ 满足 $α P A + β PB + γ PC = 0$ ，则 $P$ 在 $△ A BC$ 内部，且三个子三角形面积比为 $S_{△ PBC} : S_{△ PC A} : S_{△ P A B} = α : β : γ$ 。由此立即统一三角形四心的重心坐标权重（ $p = (α a + β b + γ c) / (α + β + γ)$ ）：

•
重心 $G$ ： $α : β : γ = 1 : 1 : 1$ ；
•
内心 $I$ ： $α : β : γ = a : b : c = sin A : sin B : sin C$ ；
•
外心 $O$ ： $α : β : γ = sin 2 A : sin 2 B : sin 2 C = a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) : b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2}) : c^{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ；
•
垂心 $H$ （非直角三角形）： $α : β : γ = tan A : tan B : tan C$ ，且以外心 $O$ 为原点时恒有欧拉线恒等式 $O H = O A + OB + OC = 3 OG$ 。

例： $A = (0, 0), B = (6, 0), C = (0, 8)$ ，重心为 $(2, 8/3)$ ；对边长依次为 $10, 8, 6$ ，故内心为 $(10 a + 8 b + 6 c) /24 = (2, 2)$ 。

面积权重若扩展到形外点，应统一用有向面积 $[X Y Z] = \frac{1}{2} det (X Y, XZ)$ 。非退化三角形中 $[PBC] + [PC A] + [P A B] = [A BC] \neq = 0$ ，归一化后才是点的仿射坐标。以本例的 $P = (6, 8)$ 为例，三块有向面积为 $- 24, 24, 24$ ，权重 $- 1 : 1 : 1$ 给出 $P = - A + B + C$ ；若全改成正面积，向量和就不再为零。一般给定权重总和为零时，也不能直接除以总和求点。

平移与旋转分别处理点和位移

全体点加同一向量是平移，所有差向量不变；绕定点旋转则先减旋转中心，再旋转位移，最后加回中心。逆时针直角旋转将 $(u, v)$ 变为 $(- v, u)$ 。例：绕 $H = (1, 1)$ 把 $P = (3, 2)$ 旋转直角，位移 $(2, 1)$ 变为 $(- 1, 2)$ ，得到 $P^{'} = (0, 3)$ ；两点到 $H$ 的距离均为 $5$ 。

面积由行列式及其符号决定

两向量张成的平行四边形面积为其坐标行列式的绝对值，三角形再除以二。例： $u = (1, 2), v = (3, - 1)$ 的行列式为 $- 7$ ，面积为 $7$ 。新向量 $2 u + v = (5, 3)$ 、 $- u + v = (2, - 3)$ 的系数行列式为 $3$ ，新面积为 $21$ 。面积取绝对值，不能把有向符号当负面积。

多系数表示要保留自由方向和真实范围

三个平面向量可有线性依赖，表示同一目标的系数可能形成一条直线。例：对 $(1, 0), (0, 1), (- 1, - 1)$ 表示目标 $(1, 0)$ ，系数全为 $(s + 1, s, s)$ 。平方和为 $3 (s + 1/3)^{2} + 2/3$ ，自由实系数的最小值为 $2/3$ ；若三系数都限于 $[0, 1]$ ，则只能取 $s = 0$ ，最小值改为 $1$ 。约束不同，不能共用取等点。

方法卡

边向量先统一起点，再比较系数

向量 $A B$ 表示从 $A$ 到 $B$ 的位移。选同一个原点 $O$ 后， $A B = OB - O A$ 。把不同起点的边都换成位置之差，才能稳妥地比较。

完整讲解 · 例题 · 可练 19 题

一、是什么

什么是基底

平面内两条不共线向量 $u, v$ 叫一组基底；每个向量唯一写成 $xu + y v$ 。唯一性来自： $a u + b v = 0$ 若有非零系数，就会使两向量共线。因此 $xu + y v = p u + q v$ 时 $x = p, y = q$ 。共线的两向量不能这样比较。

先做终点减起点

取 $A$ 为原点， $A B = u, A C = v$ 。若 $A P = s u + t v$ ，则 $BP = (s - 1) u + t v$ ， $CP = s u + (t - 1) v$ 。反向向量整体变号。

平行与长度

非零向量 $w$ 与 $u$ 平行，表示 $w = k u$ ， $k$ 是非零实数。在基底 $u, v$ 下， $w$ 的 $v$ 系数必须为零。 $k < 0$ 表示反向，长度比是 $∣ k ∣$ 。零向量不能用来判断一条直线的方向。

先看一道例题

例 1：中点的两种写法

$A, B, C$ 不共线， $P$ 是 $BC$ 中点。求 $A P$ 用 $u = A B, v = A C$ 的表示。

怎么看出来：

中点的位置是两端位置的平均。

解：

$BP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (v - u)$ ，所以 $A P = u + \frac{1}{2} (v - u) = \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v$ 。从 $C$ 出发同样得到此式。

答案：

$\frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
多条边的起点不同	先统一写成位置之差
向量等式里要求两个系数	先确认基底不共线
平行并要求长度比	消掉另一方向，最后取绝对值

三、怎么用

选一个公共原点。
把所有边写成终点位置减起点位置。
核对两基向量不共线，再逐项比较。
代回原式；长度比要取绝对值。

四、再做一道

例 2：反向平行的长度

$u, v$ 不共线， $w = (2 t - 4) u + (t + 1) v$ 。若 $w$ 平行于 $u$ ，求 $t$ 和 $∣ w ∣/∣ u ∣$ 。

怎么看出来：

平行要求另一个独立方向消失。

解：

$t + 1 = 0$ ，故 $t = - 1$ 。此时 $w = - 6 u \neq = 0$ ，确实平行且反向，长度比是 $∣ - 6∣ = 6$ 。

答案：

$t = - 1$ ，长度比 $6$ 。

五、容易错在哪

基底共线时不能逐项比较系数。
长度不能为负；负系数说明方向相反。

真题

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中心的位置：重心等权，内心按对边加权

系数和为 $1$ 的位置组合叫仿射组合，换原点时表示的点不变。三角形的重心是三个顶点的等权平均，内心则按各顶点的对边长加权。

完整讲解 · 例题 · 可练 8 题

一、是什么

重心从中线来

重心 $G$ 是三条中线的交点。取 $A$ 为原点， $B = u, C = v$ ， $BC$ 中点是 $(u + v) /2$ ，故 $G = (u + v) /3$ 在中线上，且 $A G : GM = 2 : 1$ ；对另两顶点同理。因此一般原点下 $G = (A + B + C) /3$ 。这里用字母点简写其位置向量。

内心为何按对边长

内心 $I$ 是内角平分线的交点，到三边距离相等，记为 $r$ 。记 $a = ∣ BC ∣, b = ∣ C A ∣, c = ∣ A B ∣$ 。三个小三角形面积为 $a r /2, b r /2, cr /2$ ，故对应顶点权重为 $a : b : c$ ， $I = (a A + b B + c C) / (a + b + c)$ 。这些边长属于非退化三角形，分母为正。

换成指定边

先求 $I - A$ ，得 $A I = (b A B + c A C) / (a + b + c)$ ，不要把 $b, c$ 顺序颠倒。正多边形的顶点若先由旋转得到，仍要统一原点后平均。

先看一道例题

例 1：直角三角形的重心

$A = (0, 0), B = (6, 0), C = (0, 3)$ ，求重心 $G$ 和 $BG$ 。

怎么看出来：

先平均，再减起点。

解：

$G = ((0 + 6 + 0) /3, (0 + 0 + 3) /3) = (2, 1)$ 。所以 $BG = (2 - 6, 1 - 0) = (- 4, 1)$ 。

答案：

$G = (2, 1)$ ， $BG = (- 4, 1)$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
重心位置	三个顶点等权平均
内心位置	权重按顶点的对边长排列
要求某条边出发的向量	中心位置减该起点位置

三、怎么用

写清原点和各顶点位置。
确认是重心还是内心。
列权重并除以权重总和。
减去指定起点，代回检查。

四、再做一道

例 2：三四五三角形的内心

$A = (0, 0), B = (4, 0), C = (0, 3)$ ，求内心 $I$ 。

怎么看出来：

对边长依次是 $5, 3, 4$ 。

解：

$I = (5 A + 3 B + 4 C) /12 = (1, 1)$ 。检查到两坐标轴距离均为 $1$ ；斜边方程 $3 x + 4 y = 12$ ，到它的距离为 $∣3 + 4 - 12∣/5 = 1$ ，确为内心。

答案：

$I = (1, 1)$ 。

五、容易错在哪

内心的顶点权重是对边长，不能用相邻边长替代。
仿射权重必须归一化，三个原始边长不能直接当系数。

真题

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零向量等式读面积，四心先写坐标

$α P A + β PB + γ PC = 0$ 且权重总和不为零时，可解出 $P$ 的位置。权重全正时，三个权重之比就是对面三个小三角形的面积比。

完整讲解 · 例题 · 可练 1 题

一、是什么

面积权重的含义

三角形非退化，若 $P = λ A + μ B + ν C$ ， $λ + μ + ν = 1$ 且三者正，则 $P$ 在内部。以 $BC$ 为底，位置到直线 $BC$ 的有向距离是线性量： $B, C$ 的距离为零，故 $P$ 的高度是 $A$ 的 $λ$ 倍。于是 $S_{PBC} / S_{A BC} = λ$ ，另两式同理。这就是面积权重关系，也叫奔驰定理。

零和须单查

展开原式得 $(α + β + γ) P = α A + βB + γ C$ 。总和为零时 $P$ 被消去，只能判断剩下的定向量是否为零。负权重对应有向面积，不能把它直接当普通面积比。

四心用定义校验

点积 $u \cdot v$ 是坐标对应乘积之和，等于零表示非零向量垂直。外心 $O$ 到三个顶点等距；垂心 $H$ 在三条高上；重心 $G$ 是顶点平均；内心 $I$ 到三边等距且在内部。以外心为原点时， $H = A + B + C$ ： $(H - A) \cdot (B - C) = (B + C) \cdot (B - C) = ∣ B ∣^{2} - ∣ C ∣^{2} = 0$ ，所以 $H$ 在过 $A$ 且垂直 $BC$ 的直线上，其余同理。于是 $O H = 3 OG$ 。直角三角形的垂心就是直角顶点。

先看一道例题

例 1：一比二比三的面积

$A BC$ 非退化， $P A + 2 PB + 3 PC = 0$ 。求 $S_{PBC} / S_{A BC}$ 。

怎么看出来：

总和为 $6$ ，且三个权重全正。

解：

$P = (A + 2 B + 3 C) /6$ ，故 $P$ 在内部。 $A$ 的权重为 $1/6$ ，以 $BC$ 为共同底， $P$ 的高为 $A$ 的 $1/6$ ，所以面积比为 $1/6$ ；另两块分别占 $2/6, 3/6$ ，和为 $1$ 。

答案：

$1/6$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
正权重的零向量和	归一化后直接读对面面积
权重总和为零	先检查等式相容性
外心、垂心、重心混合	以外心为原点，使用高的垂直关系

三、怎么用

把等式全部移到一边。
展开并核对权重总和。
正权重读面积；四心按定义换位置。
把面积比或中心坐标代回验证。

四、再做一道

例 2：直角情形也满足欧拉线

$A = (0, 0), B = (4, 0), C = (0, 2)$ 。求 $O, H, G$ ，验证 $O H = 3 OG$ 。

怎么看出来：

直角三角形外心是斜边中点。

解：

$O = (2, 1)$ ， $H = A = (0, 0)$ ， $G = (4/3, 2/3)$ 。于是 $O H = (- 2, - 1)$ ， $3 OG = 3 (- 2/3, - 1/3) = (- 2, - 1)$ 。

答案：

$O = (2, 1), H = (0, 0), G = (4/3, 2/3)$ ，等式成立。

五、容易错在哪

负权重不能取绝对值后照读面积比。
总和为零时不能除以权重总和；先判断是否有解。

真题

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一试训练题F2

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平移与旋转：相对中心操作，长度面积不变

所有点加同一向量是平移；所有点绕同一中心转同一角是旋转。两种变换都保留点间距离、角和面积，但点坐标通常会改变。

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一、是什么

平移的增量会抵消

若 $P' = P + d, Q' = Q + d$ ，则 $P' Q' = (Q + d) - (P + d) = Q - P$ 。所以边向量没有额外加上 $d$ 。

旋转先减中心

绕 $C = (h, k)$ 逆时针转 $9 0^{\circ}$ ，先把位移 $(x - h, y - k)$ 变为 $(- (y - k), x - h)$ ，再加回中心，得到 $(h + k - y, k + x - h)$ 。顺时针则把位移变为 $(y - k, - (x - h))$ 。

为何保留形状

旋转矩阵 $R$ 满足 $R^{T} R = I$ ，这叫正交变换，含义是 $∣ R u ∣^{2} = u^{T} R^{T} R u = ∣ u ∣^{2}$ 。点积也保留，故角不变。旋转的行列式为 $1$ ，所以有向面积也不变；平移只改变位置。

先看一道例题

例 1：平移不改边向量

$A = (1, 2), B = (4, 6)$ 都平移 $(5, - 1)$ 。求新边向量和边长。

怎么看出来：

同一增量抵消。

解：

$A' = (6, 1), B' = (9, 5)$ ，故新边向量为 $(3, 4)$ ，边长为 $9 + 16 = 5$ ，与原边相同。

答案：

边向量 $(3, 4)$ ，边长 $5$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
每个点坐标加相同增量	识别平移
绕非原点旋转	先减中心再旋转再加回
只求边长或面积	直接使用不变量

三、怎么用

识别变换和共同中心。
写相对中心的位移。
按指定方向旋转，再加回中心。
用距离或面积核对。

四、再做一道

例 2：绕指定中心转直角

$P = (3, 2)$ 绕 $C = (1, 1)$ 逆时针转 $9 0^{\circ}$ 后为 $Q$ 。求 $Q$ 。

怎么看出来：

相对位移是 $(2, 1)$ 。

解：

$(2, 1)$ 逆时针转成 $(- 1, 2)$ ，再加 $(1, 1)$ 得 $Q = (0, 3)$ 。检查 $∣ CP ∣^{2} = 5 = ∣ CQ ∣^{2}$ ，且 $(2, 1) \cdot (- 1, 2) = 0$ ，方向为逆时针。

答案：

$Q = (0, 3)$ 。

五、容易错在哪

平移向量加在点的位置上，不能再加到边向量上。
绕非原点旋转时，必须在旋转后加回中心。

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向量系数的行列式，给出面积伸缩

平面向量 $u = (x_{1}, y_{1}), v = (x_{2}, y_{2})$ 的行列式是 $det (u, v) = x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}$ ，其绝对值是两向量张成的平行四边形面积，三角形面积再除以 $2$ 。

完整讲解 · 例题 · 可练 11 题

一、是什么

换基后的面积

若 $p = a u + b v, q = c u + d v$ ，展开得 $det (p, q) = (a d - b c) det (u, v)$ 。因此新旧普通面积比是 $∣ a d - b c ∣$ ；负号只表示朝向反了。基底共线时两边面积均为零，不能相除求比。

共底只看高度

取底边方向为 $u$ ， $det (u, s u + t v) = t det (u, v)$ ，沿底边的分量 $s u$ 不改变面积。共底三角形面积比是高度绝对值之比。

参数区域先找边界

$s u + t v$ 中 $0 \leq s, t \leq 1$ 形成平行四边形；若改为 $s, t \geq 0, s + t \leq 1$ ，才是三角形。求向量和区域时，先明确参数的全部约束，再画端点像或分块。

先看一道例题

例 1：负行列式仍是正面积

$u = (2, 0), v = (0, 3)$ ， $p = u + 2 v, q = 3 u + v$ 。求 $p, q$ 张成的三角形面积。

怎么看出来：

先算系数行列式 $1 - 6 = - 5$ 。

解：

$det (u, v) = 6$ ， $det (p, q) = - 5 \cdot 6 = - 30$ ，三角形面积为 $∣ - 30∣/2 = 15$ 。直接核对 $p = (2, 6), q = (6, 3)$ ，行列式为 $6 - 36 = - 30$ 。

答案：

$15$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
两条边都是同一基底的线性组合	算系数行列式
多个三角形共享底边	只比较垂直高度
参数各在区间内变化	先判断是平行四边形还是三角形

三、怎么用

选共同基底，求其有向面积。
列两条新边的系数。
算系数行列式并取绝对值。
按实际区域判断是否还需除以 $2$ 。

四、再做一道

例 2：独立参数的区域

$u = (2, 0), v = (0, 3)$ 。点 $X = s u + t v$ ，其中 $s \in [0, 2], t \in [0, 1]$ 。求轨迹区域面积。

怎么看出来：

两参数独立，区域是矩形。

解：

$X = (2 s, 3 t)$ ，故 $0 \leq x \leq 4, 0 \leq y \leq 3$ 。区域面积为 $4 \cdot 3 = 12$ ，不是三角形的一半。

答案：

$12$ 。

五、容易错在哪

普通面积必须非负，三角形面积有一半因子。
参数盒和系数和为一的约束不同，不能默认得到三角形。

真题

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多余系数：先解约束，再配方或找端点像

三个平面向量可能有不同系数组合表示同一向量。先把向量等式拆成两个坐标方程，剩余自由参数再用于求平方和最小值或区域边界。

完整讲解 · 例题 · 可练 2 题

一、是什么

自由方向

例如 $u = (1, 0), v = (0, 1), w = (1, 1)$ ，条件 $a u + b v + c w = (r, s)$ 给 $a = r - c, b = s - c$ 。不同 $c$ 产生相同目标向量；变化方向 $(- 1, - 1, 1)$ 的像为零，称为零空间方向。

平方和沿参数配方

把 $a, b$ 用 $c$ 表示后， $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 是一元二次式，配成 $A (c - c_{0})^{2} + M$ 。还要检查 $c_{0}$ 及对应 $a, b$ 是否满足全部范围限制。

参数盒的像

系数各在闭区间变化时，所有端点组合先映成点，像区域是这些点的凸包。凸包是包含这些点的最小凸集；任意盒内点可写成盒顶点的非负加权平均，反过来线性像保留这种平均。重复点和内部点不能误当额外边界。

先看一道例题

例 1：冗余表示的最小平方和

$u = (1, 0), v = (0, 1), w = (1, 1)$ 。实数 $a, b, c$ 满足 $a u + b v + c w = (1, 1)$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值。

怎么看出来：

$a = b = 1 - c$ 。

解：

平方和 $2 (1 - c)^{2} + c^{2} = 3 (c - 2/3)^{2} + 2/3$ 。当 $c = 2/3, a = b = 1/3$ 时取等，坐标和均为 $1$ 。

答案：

最小值 $2/3$ ，在 $(a, b, c) = (1/3, 1/3, 2/3)$ 取到。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
三系数表示二维向量	先找一个自由参数
系数平方和最小	代入坐标约束后配方
各系数独立取区间	列所有端点像，再求凸包

三、怎么用

把向量等式写成坐标约束。
求自由参数及其真实范围。
平方和配方，或枚举盒顶点像。
将最优系数代回原式核验。

四、再做一道

例 2：三个区间形成六边形

$X = a (1, 0) + b (0, 1) + c (1, 1)$ ， $a, b, c \in [0, 1]$ 。求像区域面积。

怎么看出来：

八个端点像中有重复点和内点。

解：

像是正方形 $[0, 2]^{2}$ 中满足 $∣ x - y ∣ \leq 1$ 的区域。必要性来自 $x - y = a - b$ ；反过来可选 $c \in [max (0, x - 1, y - 1), min (1, x, y)]$ ，上述条件保证区间非空，再取 $a = x - c, b = y - c$ 。删去右下、左上两块直角边长 $1$ 的三角形，面积 $4 - 1/2 - 1/2 = 3$ 。

答案：

$3$ 。

五、容易错在哪

冗余系数不唯一，不能直接逐项比较三个系数。
形式上的最小点若不在允许范围内，就要改查范围端点。

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误区对照

容易误以为

在 $△ A BC$ 中， $a = 3, b = 4, c = 5$ ，点 $I$ 为内心，写出 $A I = \frac{b A B + c A C}{a + b + c}$ 时把 $B, C$ 处的权重写反，误作 $\frac{5 A B + 4 A C}{12}$ 。

应当这样想

由 $a I A + b I B + c I C = 0$ 及 $I B = A B - A I, I C = A C - A I$ ，解得 $A I = \frac{b A B + c A C}{a + b + c} = \frac{4 A B + 5 A C}{12}$ 。

为什么

顶点 $B$ 的仿射权重是对边 $b = C A$ （而非 $c = A B$ ），顶点 $C$ 的权重是对边 $c = A B$ ；化为以 $A$ 为起点的边向量组合时， $A B$ 前的系数恰为 $b / (a + b + c)$ ， $A C$ 前的系数为 $c / (a + b + c)$ 。

容易误以为

设点 $P$ 在 $△ A BC$ 内部且满足 $P A + 2 PB + 3 PC = 0$ ，求 $S_{△ A BC} : S_{△ P A C}$ ：误把 $PC$ 的系数 $3$ 当作 $△ P A C$ 的权重，得面积比为 $(1 + 2 + 3) : 3 = 2$ 。

应当这样想

奔驰定理中每个顶点的向量系数对应的是不含该顶点的对侧子三角形面积： $S_{△ PBC} : S_{△ PC A} : S_{△ P A B} = 1 : 2 : 3$ 。因此 $△ P A C$ 对应的是 $PB$ 的系数 $2$ ，总面积与 $S_{△ P A C}$ 之比为 $\frac{1 + 2 + 3}{2} = 3$ 。

为什么

延长 $BP$ 交 $A C$ 于 $D$ 时， $PB$ 的系数决定的是点 $P$ 到边 $A C$ 的相对高度，即 $△ P A C$ 的面积比重，而不是含 $B$ 的三角形面积。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 48 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。