培玉 · 一试
一试训练题
F3填空题幂指对
已知方程 的解为 ，方程 的解为 ，则
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
分别求出两个超越方程的根并不现实，先尝试用指数与对数互逆建立根的对应。
思路
构造出第二个方程的一个根后，证明它唯一，才可把它等同于题设根，再将目标整体因式化计算。
解答
第一个方程必有 ，且
令 ，则 ，并且
故 满足第二个方程。在 上， 严格递增，而 严格递减，所以第二个方程至多有一个根，得到 。于是
所求值为
复核
第一式的正指数强迫 ，所构造的 也严格在对数定义域内。把目标改写成 后逐项展开，常数应为 ，与原式相同；这一常数检查能防止只算乘积而漏掉最后的2。
方法总结
两个反函数型方程的根可以通过一个显式变换联系，但构造根不等于指定根，仍须唯一性或完整分支判定。目标若正好含这条根关系，优先整体提取，不要把难求的根近似到小数后再相乘。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须主动构造e^{x_1}-1并利用第二方程的单调唯一性确认根的对应，之后才能消去不能显式求出的根。
已记下，谢谢！