2008 年河北预赛 · 第 14 题

解答

取 $B=(-a/2,0,0),C=(a/2,0,0),A=(0,\sqrt{3}a/2,0)$。公共侧棱向量位于垂直侧面内，设为 $v=(u,0,w)$。由 $A{C}_1\perp BC$ 得 $u=-a/2$；侧棱长 $a$ 给 $w^2=3a^2/4$，调整竖轴正向可取 $w=\sqrt{3}a/2$。（1）$A{A}_1$ 与 $B_1{C}_1$ 分处水平坐标 $y=\sqrt{3}a/2$ 与零，故距离不小于 $\sqrt{3}a/2$；从 $A_1$ 沿纵轴到 $B_1{C}_1$ 的中点恰垂直两线，故 $\boxed{d=\sqrt{3}a/2}$。（2）沿棱 $AB$ 取方向 $q=B-A$，侧面取 $v$ 指向 $A_1$，底面取 $r=C-A$ 指向 $C$。去掉沿 $q$ 的分量后，点积为 $-3a^2/8$，平方模为 $15a^2/16,3a^2/4$，故实际二面角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =-1/\sqrt{5}$。所以 $\boxed{\theta =\arccos (-1/\sqrt{5})\approx 116.565^{\circ }}$。