2015 年中科大少年班初试 · 第 11 题

解答

（i）$f^{\prime }(x)=(1-\ln x)/x^2$，故在 $(0,e]$ 增、$[e,+\infty )$ 减，最大值 $\boxed{1/e}$。（ii）原等式取对数得 $\ln x/x=\ln y/y$，单调性迫使 $1<x<e<y$。令 $r=y/x>1$，则 $(r-1)\ln x=\ln r$，从而 $\ln \sqrt{xy}=(r+1)\ln r/[2(r-1)]$。对 $r>1$，令 $K(r)=\ln r-2(r-1)/(r+1)$，有 $K(1)=0,K^{\prime }(r)=(r-1{)}^2/[r(r+1{)}^2]>0$，故 $\ln \sqrt{xy}>1$。于是 $x+y\ge 2\sqrt{xy}>2e$，即 $\boxed{x+y>2e}$。