易混 2018 年黑龙江预赛 第 7 题 · P009499
“恰有一个为真”不总能用同一种捷径。一题中先有一对互为否定的命题，已固定了这对命题贡献的真话数；另一题的两个条件并不互否，须分别找各自成立的参数集合，再排除同时真和同时假的情形。
人物陈述题可以先锁定其余话的真假，参数命题题则需要对称差及端点检查；不能把恰一真简单当成普通并集。
培玉 · 一试
2026 年中科大少年班入围考 · 第 11 题
F2填空题集合与简易逻辑
设。若命题
与命题
有且仅有一个为真命题，则的取值范围为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
分别把两个命题化为参数集合。
思路
“有且仅有一个成立”对应两个集合的对称差，而不是普通的并集。
解答
二次方程有两个不相等实根当且仅当判别式大于零，即 。故第一个命题的参数集合为
对第二个命题分段： 时，； 时等于 ； 时等于 。由此得
恰有一个命题成立的参数集合为 ，其中
因此所求为
复核
时两命题均假，应排除； 时仅第二个命题为真，应保留； 时两个命题都真，应排除。这四个端点与所写区间一致。
方法总结
把命题真假翻译成集合运算时，“至少一个”为并，“同时”为交，“恰有一个”为对称差。完成运算后逐一复核分界点。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
分别求两个真值集合，再求对称差；分界均由判别式及绝对值零点直接给出，最难为四个端点的真假检查。
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