垫脚石（相关题 → 此题） 2026 年吉林预赛 · P006045
先用大幂在小模数下的短循环替代巨大数值，再将这个思路推广到多个变动指数的计数。前题只看一个固定指数的循环位置，后题还要按允许的余数对分组，并保留两指数的大小关系。
从求一个余数到数满足末位要求的不同值，多了区间内各余数类的数量及数值不碰撞检验，不能只列幂的周期就结束。
培玉 · 一试
2024 年北京预赛
F3填空题数论
从 中任取两个数 ，则 的值中，个位数字为 的数有个。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
个位数只依赖指数模 ；再利用 对三个允许的余数组合分别计数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
的个位数按 为 ， 的个位数为 。 和的个位数为 当且仅当
至 中每个模 余数各出现 次。结合 ，三类的数量依次为
总数为
复核
固定 时各个 给出不同值；若 ，则 ，故不同 的值域也不重叠，以上确实是在数不同的值而非仅数取法。
方法总结
幂的末位先按循环节转成同余计数；若题目问不同函数值，还要额外验证参数到数值没有碰撞。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先找满足个位和的三类余数对并计入a不大于b，还须证明不同b的数值区间不重叠，才能计不同值。
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