培玉 · 一试

专题地图 › 递推数列

2024 年重庆预赛

F3填空题递推数列

数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且

\frac{a _{n + 1} - a _{n}}{a _{n}} = \frac{a _{n + 2} - a _{n + 1}}{a _{n + 2}} (n \in N^{*}) .

若 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{6} a_{7} = 3$ ，则 $a_{2024} =$ 。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

关键是发现倒数成等差数列，再将相邻原项乘积裂项；公差为0需独立排除。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：递推换元化成线性、裂项相消

专题卡：分式递推求通项：取倒数，把它变成等差或等比数列、前缀作差找递推，长和只留首尾