2016 年湖北预赛 · 第 7 题

解答

先排除 $q=2$：此时 $2p^2=31$，不可能。 若 $q\ne 3$，则 $q\equiv 1$ 或 $-1(\mathrm{mod}3)$。 当 $q\equiv -1(\mathrm{mod}3)$ 时，原式给出

与平方模 $3$ 只能为 $0,1$ 矛盾。 当 $q\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ 时，原式给出 $p^2\equiv 0(\mathrm{mod}3)$；因 $p$ 为质数，必有 $p=3$。 但这将使 $q^5=19$，而 $q\ge 2$ 给出 $q^5\ge 32$，仍矛盾。 故 $q=3$，于是 $p^2=(3^5-1)/2=121$，从而 $p=11$。 回代 $3^5-2\cdot 11^2=243-242=1$，两数均为质数，故