2021 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 2 题

解答

$B=\{1,4,m^2\}$，所以 $C=\{1,2,4\}\cup \{m,m^2\}$，而 $1+2+4=7$，故 $C$ 中不属于 $\{1,2,4\}$ 的元素之和必为 $-1$。若 $m,m^2$ 都是新元素且互异，则 $m+m^2=-1$，但 $m^2+m+1>0$，不可能。若 $m=m^2$，则 $m\in \{0,1\}$：$m=0$ 新增元素之和为 $0$，$m=1$ 不新增，均不是 $-1$。若恰有一个是新元素：$m\in \{1,2,4\}$ 时 $m=1$、$2$ 都不新增（$2^2=4$ 也已有，新增和为 $0$），$m=4$ 新增 $16$，和为 $16$；$m^2\in \{1,2,4\}$ 且 $m$ 新增时，$m=-1$ 新增 $-1$，满足；$m=\pm \sqrt{2}$、$m=-2$ 新增值不是 $-1$。故只有 $m=-1$，此时 $C=\{-1,1,2,4\}$，元素之积为 $\boxed{-8}$。