2025 年云南预赛

思路

三次 Schur 不等式对非负数成立：$(a+b+c{)}^3+9abc\ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$。可将等价式 $\sum a(a-b)(a-c)\ge 0$ 按最大、中间、最小变量排序后配成非负项证明。

想法从哪来：上下界可能由不同类型配置达到，先分别试单个变量非零和两个变量相等、第三个为零，帮助判断合适的放缩。下界按项比较可行：平方和条件把另外两变量的积控制成当前变量平方的函数，再与当前平方相比较，三项相加就回到已知单位和。 上界若逐项去掉分母则太松，必须保留三个分母的相互联系。通分后用三变量的和、两两积和、总积表示，平方和条件可以消去其中一个对称量。误差式按变量和是否超过候选常数分成两段：较小一段逐项非负，较大一段需用三次 Schur 关系给总积下界补偿负项。最后把剩余一元多项式的符号核清，并分别验证两端的实际构造。

下界可以逐项把分母用 $a$ 控制，再与 $a^2$ 比较。上界若逐项估计会损失循环分母之间的联系，因此改用对称量 $s=a+b+c$、$p=ab+bc+ca$、$q=abc$ 通分；当 $s\le \sqrt{2}$ 时差式直接非负，当 $s>\sqrt{2}$ 时用三次 Schur 不等式给出 $q$ 的下界补足负项。