同一骨架 2014 年安徽预赛 第 7 题 · P010175
两题都在固定剩余参数后，找出乘积固定的一对正项，用均值不等式确定局部极值。读出等号比例只是第一步，还须核它能否与原来的区间或总和限制同时满足。
一题的极值决定每条截线的区域边界，随后还须证明中间值可达；另一题的等号比例与定和条件直接确定最值构型。
培玉 · 一试
2025 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 5 题
F2填空题不等式的证明
若 且 ，则 的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
用 替换常数项，可把待估计式化为常数与两个乘积固定的正项之和。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
由条件及 ，
等号成立当且仅当 。联立 ，得到
两数均为正，故最小值为 。
复核
等号条件等价于 ；所给正数之和为 ，所以该下界能够达到。
方法总结
正变量的和固定时，可用和的条件替换分子中的常数，再寻找乘积固定的两项。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
利用和为1的条件同次化，再对乘积固定的两个正比值应用基本不等式并核验等号。
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易混 2022 年吉林预赛 · P006854
两题都可见正项与倒数项相加，但允许范围决定均值等号是否有效。根式换元带来的下界可能把全正轴上的驻点挡在区间外；定和正变量的比值则可以遍历整个正半轴，等号比例才有机会实现。
不能只认出同一种分式外形就套用相同最值。先定位新变量范围，再决定取内部平衡点还是定义域边界。
已记下，谢谢！