培玉 · 一试
一试训练题
从高度比到体积比
F1填空题立体几何综合
一座棱锥的底面积为 ，顶点 到底面所在平面的距离为 。在顶点和底面之间，用一个平行于底面的平面截棱锥，且顶点 到截平面的距离为 。求截平面与顶点 围成的小棱锥的体积。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
平行截面使小棱锥与原棱锥相似。
思路
高度的比例对应体积的几次方比例？
平行截面给出整体相似，线性尺寸随高度成比例，而体积随线性比的三次方变化。也可以先求截面面积，再用小锥的实际高。
解答
原棱锥体积为 。截平面平行于底面，所以小棱锥与原棱锥相似，线性比等于高之比 。体积比为 ，所以小棱锥体积为 。
。
复核
小棱锥底面积（即截面面积）为 ；其高为3，故体积为 。距离3从顶点算起，截面到底面的距离是6；若误用6作小锥高就改变了题意。
方法总结
相似线比、面积比、体积比分别是 ，要分清高度从哪里量。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
一次高度比和相似体积比。
已记下，谢谢！