2018 年河北预赛（高二卷） · 第 7 题

解答

记 $c=\cos \theta ,s=\sin \theta$。原式等价于 s 与 $\sqrt{3}c+1$ 同号、且 $s^2>(\sqrt{3}c+1{)}^2$。后者利用单位圆化为 $-2c(2c+\sqrt{3})>0$，即 $-\sqrt{3}/2<c<0$。若 $-\sqrt{3}/2<c<-1/\sqrt{3}$，分母负，故 s 负，此时 $\tan \theta$ 取遍 $(1/\sqrt{3},\sqrt{2})$。若 $-1/\sqrt{3}<c<0$，分母正，故 s 正，此时正切取遍 $(-\infty ,-\sqrt{2})$。所以范围为 $\boxed{(-\infty ,-\sqrt{2})\cup (\sqrt{3}/3,\sqrt{2})}$。