2015 年辽宁预赛 · 第 11 题

复核

下面给出包含 $a,b,c=1$ 边界的一般分类。由对称性可设 $a\le b\le c$，令成功率 $p=1/a,q=1/b,r=1/c$。独立性及互斥分类给出恰一成功的概率

若 $a\ge 3$，则 $p,q,r\le 1/3$。$F$ 关于 $p$ 的系数 $1-2q-2r+3qr$ 在 $0\le q,r\le 1/3$ 上非负：它关于每个变量均递减，在 $q=r=1/3$ 取最小值0。循环同理，故 $F\le F(1/3,1/3,1/3)=4/9<7/15$，矛盾。

若 $a=1$，则 $(b-1)(c-1)/(bc)=7/15$，从而 $15\mid bc$。因 $b,c$ 均为1至9的整数，其中一个只能为5；设另一个为 $d$，代入得 $12(d-1)=7d$，即 $d=12/5$，矛盾。也涵盖 $b=1$ 或 $c=1$ 时恰一成功概率为0的情形。

所以 $a=2$，此时 $F=(1-1/(bc))/2=7/15$，得 $bc=15$。由排序及范围，$b=3,c=5$；反代确实满足条件。全失败概率为