2008 年安徽预赛 · 第 5 题

解答

$2008=8\cdot 251$，且$251$与$10$互素。小数点后移三位，有

长除法每次把余数乘以$10$再取模$251$；因$125$也与$251$互素，余数首次回到起始值的最小正步数$L$，恰满足$10^L\equiv 1(\mathrm{mod}251)$。这就是循环节的长度。 直接模运算得

故$10^{50}\equiv 1$，从而$L\mid 50$：若$50=qL+r$且$0\le r<L$，则$10^r\equiv 1$，由最小性知$r=0$。$50$的真因数为$1,2,5,10,25$；其中$1,5,25$均整除$25$，与$10^{25}\equiv -1$矛盾，$2,10$均整除$10$，与$10^{10}\equiv 113\ne 1$矛盾。因此$L=50$，选$\boxed{\mathrm{C}}$。