2015 年安徽预赛 · 第 10 题

解答

按题图三条垂线在同侧。设底面面积为 $K=\sqrt{3}/4$，底面一点的面积坐标为 $(u,v,w)$，分别对应 $A,B,C$，$u+v+w=1$。在该点上，四面体 $ABCE$ 的竖直范围为 $0\le z\le bv$；四面体 $BDEF$ 的范围为 $au+cw\le z\le au+bv+cw$。所以共同体的厚度为 $bv-au-cw$，须非负，投影区域满足 $(a+b)u+(b+c)w\le b$。这是以 $B$ 为一顶点的三角形，两边比例分别为 $b/(a+b),b/(b+c)$，面积为 $K{b}^2/[(a+b)(b+c)]$。厚度在 $B$ 处为 $b$，另两角为零，故其平均为 $b/3$。得到 $\boxed{V=\sqrt{3}{b}^3/[12(a+b)(b+c)]}$。