2016 年河南预赛 · 第 1 题

解答

原约束等价于

所以可写成 $x-y=2\cos \theta$、$2y=2\sin \theta$，其中 $\theta \in \mathbb{R}$；反过来，这样得到的每组 $x,y$ 也满足原约束。于是

从而

因为 $(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$ 取遍单位圆，线性式 $\cos 2\theta +2\sin 2\theta$ 恰取遍 $[-\sqrt{5},\sqrt{5}]$。故所求范围为 $\boxed{[3-\sqrt{5},3+\sqrt{5}]}$。