2021 年吉林预赛

解答

取

因 $RQ\Vert AD$ 且 $RQ=1$，题面允许 $Q=(0,\sigma ,2)$，其中 $\sigma =1$ 或 $-1$。设

$E=(1,0,1)$，所以

得到 $\boxed{AE\perp CM}$。

第(2)问中 $t=1$ 时 $M=Q$，三个点不能确定平面，故角的自然定义域为 $0\le t<1$。在此域内平面 $MQD$ 就是固定平面 $BQD$，其法向量可取

记所求角为 $\alpha$。当 $\sigma =1$ 时，

因此这一支的范围是 $(4/9,1/\sqrt{2}]$。 当 $\sigma =-1$ 时，

根号内在 $[0,1)$ 严格递增，故范围为 $(4/17,2/\sqrt{17}]$。 两种允许方向的范围有重叠，合并得到完整答案