同一骨架 2024 年广东预赛 · P006471
两题都将非实复数与倒数的实性联系到模长。实系数二次方程的共轭根，其乘积是模平方；把实值关系写成二次方程，或直接比较虚部，都能识别这一相同结构，再处理后续几何量。
一题实值本身仍可变化，先由非实前提确定圆周再做模最值；另一题的右端已固定，可直接求共轭根。
培玉 · 一试
2026 年江苏预赛
复数倒数方程确定模长
F1填空题复数的概念与运算
已知复数 满足
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
分式方程先乘以非零的 ，即可化成一元二次方程；求出共轭的两个根后直接计算模长。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
原式表明 。两边乘以 ，得到
所以
从而
复核
两个根均非零，且 ；代回原二次方程成立。
方法总结
含 与 的复数方程，先检查 并消去分母； 若所得根互为共轭，模长通常可由实部、虚部的平方和直接得到。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
乘z后直接得到z²−2z+5=0，两根1±2i的模相同。
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