培玉 · 一试
2013 年陕西预赛 · 第 7 题
F3填空题概率
在一个圆上随机取三点，则以这三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率等于。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
圆内接三角形不是锐角时，三个顶点可以放进一个半圆。
思路
按覆盖半圆沿顺时针方向的起点是哪一个样本点分类。
解答
三点独立均匀分布在圆周上。忽略重合和对径这类零概率情形，三角形是锐角当且仅当三个顶点不全落在任一半圆内：若全在半圆内，跨度两端所成弦对应的第三个内角不小于直角；反之，不全在半圆内时，三段相邻圆弧均小于半圆，各内角均小于直角。
对每个点 ，令 表示另外两点都在以 为起点的顺时针半圆内。固定 后，独立性给出 。只要三点可被半圆覆盖，就可把起点移动到其中一个点；除对径等零概率边界外，这个起点唯一，所以三事件几乎处处互斥。非锐角的概率为 ，所求为
复核
若两个不同样本点都可作上述起点，则它们沿两个方向的间隔均不超过半圈，只能恰好对径，概率为零。这核实了相加三个 时没有正概率重叠。直角三角形同样是对径边界，概率为零。
方法总结
圆周随机点的半圆覆盖事件，可锚定一个样本点为半圆起点。使用对称倍乘之前，必须证明起点几乎处处唯一。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先把锐角条件转换为不被半圆覆盖，再以样本点锚定覆盖半圆的起点；用对称倍乘前必须证明起点几乎处处唯一，并把对径与重合边界作为零概率情形。
已记下，谢谢！