专题地图 › 数列的和
2021 年四川预赛
F3填空题数列的和
设集合
T={(a,b,c)∣a,b,c∈N+,且 a,b,c 可构成某个三角形的三边长}.
则
(a,b,c)∈T∑3b⋅5c2a
的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：2117
解析
思路
固定 b,c 后，三角形条件给出 a 的连续整数区间，先求关于 a 的等比和，再按 b=c,b>c,b<c 处理绝对值。
解答
固定正整数 b,c。三角形条件等价于
∣b−c∣<a<b+c,
故
a=∣b−c∣+1∑b+c−12a=2b+c−2∣b−c∣+1.
于是所求和为 S1−S2，其中
S1=b,c≥1∑3b5c2b+c=(b≥1∑(32)b)(c≥1∑(52)c)=34.
再把 S2 按 b=c,b>c,c>b 分拆：
S2=b≥1∑15b2+c,d≥1∑3c+d5c2d+1+b,d≥1∑3b5b+d2d+1=71+72+212=2111.
因此
S=34−2111=2117.
复核
三个正项级数均绝对收敛，固定 b,c 后的三角形整数范围也包含了全部且仅有合法的 a。
方法总结
带三角形条件的多重级数，可先用 ∣b−c∣<a<b+c 消去一个变量，再按绝对值的符号分区求和。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
固定b和c把a的三角形范围求成幂差，再对含绝对值指数的一项分成b等于、大于、小于c三类收敛级数。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：设首项和公差（公比）
专题卡：无穷求和先查收敛，再谈绝对值和换序
培玉 · 一试