2015 年天津预赛 · 第 13 题

解答

在 $(0,1]$ 上，$f^{\prime }(t)=1-t^{-2}\le 0$，且只在端点 $1$ 为零，故 $f$ 严格递减。对 $r<x\le 1$，令 $u=f(x)$，则 $0<2-\sqrt{2}\le u<r<1$。所以复合式有定义，并且 $f(u)>f(r)=r$。另一方面直接通分得 $f(f(x))-x=-\frac{(\sqrt{2}x-1{)}^3}{x^{2}f(x)}$。这里分母为正、分子立方为正，故 $f(f(x))<x$。合并得到 $\boxed{\sqrt{2}/2<f(f(x))<x}$。