垫脚石（相关题 → 此题） 2014 年河北预赛 第 14 题 · P009422
先练习证明迭代把一个区间送回自身，用统一夹逼控制任意两项的距离。再处理从区间外出发的情形：阈值以上需要下降速率，提前进入阈值以下后仍须证明不会重新越界。
前题初值已在合适的不变区间内，区间宽度就足以完成差值界；后题先给几何步数估计，再另外建立进入后的不变区间，严格号还要从初始条件保留。
培玉 · 一试
2025 年甘肃预赛
导函数迭代数列的阈值证明
F4解答题递推数列
函数
的导函数为 。定义数列 ：
求证：当
时，必有 。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
不变区间指把区间内任一点代入迭代函数，所得值仍在此区间内。几何缩减控制首次进入的时间，不变区间控制进入以后的行为，两者一起才能证明后续恒低于阈值。
想法从哪来：先写出实际迭代函数，再研究阈值上方的比例缩减。若在三以上时每步至多乘四分之三，就能用几何级数估算穿过阈值的时间；初值严格大于三还让第一次缩减严格，处理临界步数等号。 但这种估计只在阈值上方有效，不能把它无条件迭代到所有后续项。如果序列较早已经低于三，必须另找一个留得住它的区间。利用迭代式减二能分解成平方，先证明不会跌到二以下；再在二到三之间验证下一项仍小于三。这样“尚未跨过”和“已经跨过”两个情形都被覆盖，且所有项始终避开导函数的奇点。
先求出迭代函数。对 ，它不超过 ；若某一步已经降到 以下， 还需证明后续不会重新越过 ，这样才能处理“必有”的所有情形。
解答
对 ，
记
当 时，
因为这等价于 ；若 ，则不等号严格。
先假设 均不小于 。反复使用上式，并注意 使第一次不等号严格，可得
当
时，，故 。
若在第 步以前已经有某个 ，取最小的这样的 。因为 ，有
其中
而当 时，
后一个不等式等价于 ，在区间 上成立。因此区间 在迭代下保持不变， 从而仍有 。
综上，题设结论成立。
复核
迭代过程中各项始终大于 ，故分母不为零。指数步数从 到 恰为 次，与题设下标一致；临界等号也因 带来的首次严格下降而被排除。
方法总结
迭代数列的阈值问题分两步：阈值以上建立几何衰减，阈值以下建立不变区间。 只证明衰减而不处理提前越过阈值的情形，通常不足以完成“以后恒成立”的论证。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
在x≥3仅有条件性的3/4收缩，必须分首次越过阈值前后：前段累乘给时间界，后段另证[2,3)不变才保证目标时刻仍小于3。
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