培玉 · 一试

专题地图 › 数列的和

2022 年福建预赛

等比数列与加权前缀和

F2填空题数列的和

已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，

a_{8} + a_{10} = 16 (a_{4} + a_{6}) .

数列 ${b_{n}}$ 满足：对任意正整数 $n$ ，有

a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2,

则

\frac{b _{1}}{a _{1}} + \frac{b _{2}}{a _{2}} + \dots + \frac{b _{n}}{a _{n}} = .

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

公比条件直接给r=2，部分和作差得到b_n=n后是标准 $\frac{n}{2 ^{n}}$ 求和，初项单独核对即可。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：错位相减求和、裂项相消

专题卡：前缀和不是通项：相邻相减后核首项、多项式乘等比：错位相减，次数降一