同一骨架 2015 年河南预赛 第 6 题 · P009643
两题都按上一步处于目标状态还是非目标状态，使用全概率公式建立只有一个未知量的递推。找到不动点后减去它，便可把每步误差改写成等比变化。
传球的目标是球回到指定人手中，投篮的目标是下一球投中；两类转移概率不同，递推误差是否交替也须重新判断。
培玉 · 一试
2009 年河北预赛 · 第 10 题
F2填空题概率
甲、乙、丙、丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余三个人之一。设 表示经过 次传递后球回到甲手中的概率，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
只需区分球当前在甲手中，还是在其他人手中。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
从其他任一人传到甲的概率均为三分之一。
解答
约定 。若第 次传后球在甲手中，下一次不能仍给甲；若球不在甲手中，下一次传给甲的概率为 。因此
从 依次得到
复核
递推的不动点为 ，且 ，故 。代入 为 ，与逐次计算一致。
方法总结
对称对象很多时，可按“在目标处或不在目标处”合并状态。先检查每类状态到目标的转移概率确实相同。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
利用对称性把传球位置合并为在目标人处和不在目标人处两类，先确认每类到目标的转移概率相同，再用总概率递推计算指定步数。
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