2017 年湖北预赛 · 第 9 题

解答

写 $M=(t^2,2t),N=(u^2,2u)$。焦点弦给 $tu=-1$，弦斜率为 $2/(t+u)$。若 $P=(v^2,2v),Q=(w^2,2w)$，从两条第二割线经过 $E=(m,0)$ 得 $tv=-m,uw=-m$。因此 $v+w=-m(t+u)/(tu)=m(t+u)$，从而 $k_2=2/(v+w)=k_1/m$。所述斜率均有定义且非零，题设 $k_1=3k_2$ 便给 $\boxed{m=3}$。