培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题经典的计数模型
现有10个优秀学生名额分配给6个班级，若每班至少有1个名额，则不同分配方案有种。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把各班所得名额看成有序的正整数，而不是把名额逐个编号。
思路
先保证每班的最低份额，再把余下名额视为非负分配；隔板的位置必须放在保证各段非空的空隙中。
解答
设各班名额为，则且总和为10。将10个相同标记排一行，在9个内部空隙中选5处隔开，即唯一得到六个正数。故有种。
复核
也可先每班给1个，剩下4个按分配重数分类。四个全给一班有6种；按3+1、2+2、2+1+1、1+1+1+1分配分别有30、15、60、15种，合计126。这同时检查了班级可区分而名额不可区分的模型。
方法总结
名额分配首先要确定是否区分接受者和每个名额。本题接受者有序、单位相同且有正下界，适合平移或隔板；若改成每个名额都有姓名，便不能仍用同一个组合数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
需识别并应用隔板法模型
已记下，谢谢！