2013 年河南预赛 · 第 10 题

解答

令 $u=(A+B)/2$、$v=(A-B)/2$，则 $0<u<\pi /2$ 且 $|v|<u$。模长条件给 $3{\sin }^{2}u=1+{\sin }^{2}v\ge 1$，故C最大时 $v=0$、$\sin u=1/\sqrt{3}$，三角形为等腰。按相似缩放取 $A=(-1,0),B=(1,0)$，可令 $C=(0,1/\sqrt{2})$。等差条件等价于 $MA+MB=4$，所以M在椭圆 $x^2/4+y^2/3=1$ 上。记 $h=1/\sqrt{2}$，则

右式的导数为 $-2y/3-\sqrt{2}<0$，故在 $y=-\sqrt{3},x=0$ 取最大值 $(\sqrt{3}+h{)}^2$。还原比例得