2025 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 9 题

解答

$\Gamma$ 是 $x$ 轴负半轴与抛物线 $\Omega :y^2=4x$ 的并集，原点包含在 $\Omega$ 内。 若 $P,Q$ 都在负半轴上，则 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}>0$，矛盾。 若 $P=(u^2,2u),Q=(v^2,2v)$ 都在 $\Omega$ 上，则中点横坐标非负；要使中点仍属于 $\Gamma$，须有

即 $(u-v{)}^2=0$，从而 $P=Q$，也矛盾。

所以不妨设 $P=(a,0)$，$a<0$，$Q=(b^2,2b)\in \Omega$。数量积条件给出 $a{b}^2=-2$，因此 $b\ne 0$。$M$ 的纵坐标不为零，故 $M\in \Omega$，可设 $M=(m^2,2m)$。中点条件给出

于是 $a=-2m^2$。再由数量积得

所以 $m^2=\frac{1}{2}$，$m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。故