一试训练题

解答

由 $\sin 2x+\sin 4x=2\sin 3x\cos x$，原函数为 $|\sin 3x(1+2\cos x)|$，所以 $2\pi$ 是周期。因 $1+2\cos x=0$ 的解也都是 $\sin 3x=0$ 的解，全部零点恰为 $k\pi /3$。

若存在周期 $0<T<2\pi$，由 $f(T)=f(0)=0$，只需考虑 $T=k\pi /3$，$k=1,2,3,4,5$。在 $x=\pi /6$ 处，$f(x)=1+\sqrt{3}$；依次平移前四个候选所得值为 $1,\sqrt{3}-1,\sqrt{3}-1,1$，都不同。若 $5\pi /3$ 也是周期，与已知周期 $2\pi$ 作差又推出 $\pi /3$ 是周期，也被排除。故最小正周期为 $\boxed{2\pi }$。