2020 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 2 题

解答

设半轴为a、b，半焦距c，其中 $a>b>0,c^2=a^2-b^2$。取 $A=(a,0),B=(0,b),F_1=(-c,0),F_2=(c,0)$，数量积和为 $(a^2-c^2)+(b^2-c^2)=a^2+b^2-2c^2$，所以 $a^2+b^2=2c^2$。于是 $|AB|/|F_1{F}_2|=\sqrt{a^2+b^2}/(2c)=\boxed{\sqrt{2}/2}$。