2021 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 5 题

解答

两边取 ${\log }_a$：左边 ${\log }_{a}c\cdot (2+{\log }_{a}b)=v(2+u)$；右边 $1+{\log }_{a}b\cdot (1+{\log }_{a}c)=1+u(1+v)$。所以 $2v+uv=1+u+uv$，即 $2v=1+u$。又 ${\log }_c(ab)=\frac{{\log }_a(ab)}{{\log }_{a}c}=\frac{1+u}{v}=\boxed{2}$（$a,c>1$ 保证 $v>0$）。