易混 2022 年福建预赛 · P006799
两题都先在一对变量的和固定时把它们合并，并核两量相等的构形。是否能用“均分”给出所需方向的界，必须由系数的符号或函数的凸性说明，不能因式子对称便直接设相等。
一题对余弦和作上界后仍有一个角要优化，另一题归一化后利用严格凸性直接取得两项和的下界。
培玉 · 一试
2023 年福建预赛
F2解答题不等式的证明
若不等式
对所有正实数 都成立，求 的最大值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
齐次化后两个根式内的量之和固定。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
函数 严格凸，故两量相等时和最小，也同时给出最优常数。
解答
令
则 且 。由函数 在正数上严格凸，
当 时 ，等号成立。因此
复核
正数条件保证全部归一化合法；等号构造属于题设范围，所以所得常数既可行又不能增大。
方法总结
求齐次根式不等式的最佳常数时，先除以公共尺度，把分母中的线性式变成固定和，再检查幂函数的凸性。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
按a+b归一化后两个根式内部之和固定，套用倒平方根凸性或常规柯西即可并由a=b取等。
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同一骨架 2021 年广西预赛 · P006982
凸性把若干自变量压到同一个加权平均点；应用前先归一化权重或公共尺度，应用后再核等号是否属于原变量范围。
前题从二点凸性归纳出有限加权形式，须单列某个权重为一的情形；后题选择具体凸幂函数，把齐次根式化成两个固定和的变量。
已记下，谢谢！