培玉 · 一试
2014 年陕西预赛 · 第 2 题
F2填空题等比数列与等差数列
已知等差数列 、 的前 项和分别为 、，且对于一切正整数 ，都有
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
两个等差通项都是下标的一次式。
思路
分式对所有正整数恒等，可交叉相乘比较多项式系数，得到两数列的公共尺度。
解答
设 、。题设给出
对无限多个正整数成立，所以系数相同：、、。解得存在非零实数 ，使
因此 、，从而
复核
公共尺度若为零，则原来所有分母为零，不符合题设，故约去 合法。代回通项后两个序列都等差，逐项比精确为给定式；不能把逐项比直接当成不同长度的前缀和比。
方法总结
对所有下标成立的等差项比，可看作一次分式恒等。先比较系数确定共同尺度，再分别求所需长度的和。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
逐项比对所有下标成立，可比较一次式交叉乘积的系数确定公共尺度；两个不同长度的前缀必须分别求和。
已记下，谢谢！