2014 年河北预赛 · 第 13 题

解答

存在一个线性泛函在直线 $l$ 上恒等于一。作用于题中恒等式，得 $f(x)=(a{x}^2+x-1)e^x+f^{\prime }(0)$。两侧求导并令 $x=0$，得 $f^{\prime }(0)=0$。故 $\boxed{f(x)=(a{x}^2+x-1)e^x}$，导数为 $x(ax+2a+1)e^x$。记 $r=-2-1/a$。若 $a<-1/2$，函数依次在 $(-\infty ,r]$ 减、$[r,0]$ 增、$[0,+\infty )$ 减；若 $a=-1/2$，在整个实轴严格递减；若 $-1/2<a<0$，依次在 $(-\infty ,0]$ 减、$[0,r]$ 增、$[r,+\infty )$ 减。第二问取 $a=-1$，令 $H(x)=f(x)-x^3/3-x^2/2$。有 $H^{\prime }(x)=-x(x+1)(e^x+1)$，在负一与零处分出减、增、减三段；$H(-1)=-3/e-1/6$，$H(0)=-1$，两端极限分别为正无穷和负无穷。因此水平线有三个不同交点恰当 $\boxed{-3/e-1/6<m<-1}$。