2018 年湖南预赛

解答

由 $a+b=1,b>0,a\ne 0$，令 $v=b/|a|$。若 $a>0$，则 $v>0,1/|a|=v+1$，目标为 $v+1+2/v\ge 1+2\sqrt{2}$。若 $a<0$，则 $v>1,1/|a|=v-1$，目标为 $v-1+2/v\ge 2\sqrt{2}-1$。负支在 $v=\sqrt{2}$ 时可取等，对应 $a=-1-\sqrt{2},b=2+\sqrt{2}$。因此全域最小值为 $\boxed{2\sqrt{2}-1}$。