2025 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 7 题

解答

单位向量满足 $-1\le \vec{a}\cdot \vec{b}\le 1$。右端为整数，所以 $\vec{a}\cdot \vec{b}\in \{-1,0,1\}$。

若 $\vec{a}\cdot \vec{b}=1$，则 $\vec{a}=\vec{b}$，条件右端为 $2[\vec{a}\cdot \vec{c}]$，不可能等于奇数 $1$，故此情形不存在。

若 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$，则 $\vec{b}=-\vec{a}$，从而 $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=1$。此值可以取得，例如取 $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(-1,0),\vec{c}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，条件右端为 $[\frac{1}{2}]+[-\frac{1}{2}]=-1$。

若 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$，以 $\vec{a},\vec{b}$ 为正交单位基，写成

此时条件为 $[u]+[v]=0$。在 $[-1,1]$ 内，非端点的负数取整为 $-1$，$[0,1)$ 内的数取整为 $0$。若 $u$ 或 $v$ 为负，要使整数部分之和为 $0$，另一数必须等于 $1$；但 $u^2+v^2=1$ 又迫使负数为 $0$，矛盾。若其中一数为 $0$，另一数只能为 $\pm 1$，也不满足条件。因此恰有

于是 $1<u+v\le \sqrt{2}$，并且此区间内的每个值均可取得，例如令 $u=\cos \theta ,v=\sin \theta$，$0<\theta \le \pi /4$。因此

综上，所求范围为 $\boxed{\{1\}\cup (\sqrt{5},\sqrt{2}+1]}$。