2024 年广东预赛

解答

若 $3\mid n$，则 $13\mid (3^3-1)\mid (3^n-1)$，不合题意。

设质数 $p\ge 7$ 且 $p\mid n$。若 $3^p-1$ 的质因数都小于 $12$，则它们只能来自 $2,5,7,11$。但 $3$ 在模 $5,7,11$ 下的阶分别为 $4,6,5$，均不整除质数 $p\ge 7$，所以 $5,7,11$ 都不整除 $3^p-1$。又 $p$ 为奇数，$3^p-1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$，故此数的 $2$-进指数恰为 $1$，这将迫使 $3^p-1=2$，矛盾。因此 $n$ 的质因数只能是 $2,5$。

若 $8\mid n$，则

若 $10\mid n$，则

若 $25\mid n$，考察

直接模 $2,5,7,11$ 计算，余数分别为 $1,1,4,5$，故 $Q>1$ 的任一质因数都不在 $2,5,7,11$ 中，也会产生至少为 $13$ 的质因数。

综上，候选只有 $n=1,2,4,5$。而

它们都满足条件。因此所求和为