同一骨架 2025 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 4 题 · P007108
两题先利用给定结构消去多余表达，最终把目标化成一个自由实变量上的凹二次式。配方给出的界只有在新变量真实可取遍相应范围时，才能转成原问题的最大值。
一题以对数值为新变量，需核正真数对应的范围；另一题以反射输入关系消元恢复函数，需避免除去特殊输入并回验奇偶性。
培玉 · 一试
2022 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 3 题
F2填空题幂指对
函数 的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
两个含 的对数都有公共部分 ，展开后利用 ，便得到一个二次函数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
定义域为 。令 ，则 取遍 ，并有
故最大值为 ，当 ，即 时取得。
复核
取等点为正，属于定义域；换元后的 没有额外范围限制，二次函数顶点确实可达。
方法总结
含 的多个因子可先拆对数，提取公共变量；求值域时必须同步记录新变量的真实范围。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
两个含x对数拆开后公共变量明确，利用log2+log5=1化成二次式并检查取等点。
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