2022 年甘肃预赛

解答

设

其中 $h>0$。

（1）有

故 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$，即 $PC\perp BD$。题设又给出 $PC\perp DE$。直线 $BD,DE$ 相交于 $D$，且都在平面 $BDE$ 内，所以

（2）设

由 $DE\perp PC$，

即

因此

$△BCD$ 的面积为 $1/2$，故

由

知体积在 $h=\sqrt{2}$ 时取最大值。

此时底面积为 $1$；侧面 $PAB,PAD$ 的面积之和为 $h=\sqrt{2}$；侧面 $PBC,PCD$ 的面积之和为

所以四棱锥表面积为