2026 年山东预赛

解答

先证下界。对 $\Omega$ 作任意平移后，设沿单位方向 $u=(u_x,u_y)$ 的射线上有任意远的点仍属于该集合。若 $u_x>0$，指数项的增长最终快于左边的 线性增长；若 $u_y<0$，左边最终趋于负无穷。因此可能延伸到无穷远的方向只能满足

这些方向位于一个圆心角为 $\pi /2$ 的闭扇区。旋转只会转动这个扇区。

若只有三份这样的点集，三个方向扇区在单位圆上的总弧长至多为 $3\pi /2<2\pi$。 可取一个不属于三者的方向；沿该方向充分远的点将同时落在三份点集之外。因此

再证四份足够。先把 $\Omega$ 向下平移 $1$ 个单位，再依次绕原点旋转 $0,\pi /2,\pi ,3\pi /2$，得到

假设点 $(x,y)$ 不属于这四个集合，则

式 (2) 在 $x=0$ 时不可能成立；而当 $x\ne 0$ 时，两个端点 $1-e^{-x}$ 与 $e^x-1$ 均与 $x$ 同号，故 $x,y$ 同号。 另一方面，不属于 ${\Omega }_2,{\Omega }_4$ 又给出

式 (3) 又说明 $y\ne 0$，且两个端点均与 $y$ 异号，所以 $x,y$ 异号，与上面矛盾。 故四个集合确实覆盖整个平面。结合 (1)，最小值为