垫脚石（相关题 → 此题） 2022 年江西预赛 · P006865
先把两两乘积当作定和的新变量，练习用根式的凹性给统一上界；再在整数部分问题中补上严格下界。两次换元的还原与正性检查相同，但仅有上界还不足以锁定整数区间。
前题只求最大值，后题需要夹在相邻整数之间，必须再验证另一侧的界。
培玉 · 一试
2021 年广西预赛
F2填空题不等式的证明
已知 ，其中 均为正数，则
的整数部分为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
令 ，则 且和为 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
下界可逐项比较， 上界使用根式函数的凹性。
解答
对 ，有
故 。于是所给和严格大于
另一方面，由 Jensen 不等式，
故该数位于 内，整数部分为 。
复核
都严格位于 ，所以下界严格；，足以锁定整数部分。
方法总结
对称根式和在和固定时，可用逐项代数比较给下界、用凹函数 Jensen 不等式给上界。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
设三项乘积为总和1的正数，以平方比较得根式严格大于1加该变量，再用凹性或柯西给小于5的上界。
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