2016 年山西预赛 · 第 11 题

解答

令 $P(n)$ 为 $n$ 的每位数码加一后的乘积，零数码贡献一，正与题目左侧相同；设 $P(0)=1$。对 $n=10q+r$，$q\ge 0,0\le r\le 9$，有 $P(n)=P(q)(r+1)$。由归纳假设，

其中后一不等式因差为 $q(9-r)\ge 0$。一位数情形直接成立，归纳完成。 当 $q>0$ 时，要取等必须且只需 $P(q)=q+1$ 且 $r=9$；$q=0$ 时任意一位正数都取等。所以等号恰在首位任取一至九、其余各位全为九时成立，即