垫脚石（此题 → 相关题） 2023 年甘肃预赛 · P006679
先练习只记录特殊球在哪一盒，理解为什么无需追踪每个普通球；再把状态扩成一盒中特殊球的个数。两题都应先写一步转移，再利用对称关系减少要追踪的概率。
特殊球个数增加后，状态增多，仍可保留“只记与目标有关的信息”的思路。
培玉 · 一试
2025 年江苏预赛
F2填空题概率
甲有 个白球和 个黑球，乙有 个白球。甲乙两人每次各随机取出 个球交换。经过四次交换后，黑球仍在甲处的概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
只需记录黑球在甲或乙，不必追踪所有白球，得到两状态递推。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
设交换 次后黑球在甲处的概率为 ，则 。若黑球在甲处， 它以 的概率不被取出；若在乙处，它以 的概率被取出并换到甲处。因此
于是 ，故
复核
每次交换后双方仍各有 个球，所以转移概率始终不变； 位于 与 之间。
方法总结
重复抽取交换问题若只关心某个特殊球的位置，可压缩为有限状态马尔可夫递推，而无需枚举全部球的配置。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
按黑球所在者两状态写出固定转移式，再平移到等比递推，状态和转移都直接可辨。
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同一骨架 2024 年山东预赛 · P006565
两题最终都归结为一阶仿射递推。与其反复展开，不如先找一个在变换下不动的值，再研究偏离这个值的差量；差量每一步只乘固定倍数，初值便决定全部轨道。
分式数列需要先取适当倍数的倒数，交换球模型则先把其他状态的概率消去；到达仿射结构之前的整理不同。
已记下，谢谢！