2026 年北京预赛

解答

底面是边长为 $2$ 的正三角形，其面积为 $\sqrt{3}$，外接圆半径为 $2/\sqrt{3}$。 设棱锥的高为 $h$，则

故棱锥体积为

每个侧面都是边长为 $3,3,2$ 的等腰三角形，其底边上的高为 $\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$， 所以每个侧面的面积为 $2\sqrt{2}$。棱锥的表面积为

以内切球球心为顶点、四个面为底面分割棱锥，有 $V=\frac{1}{3}r{S}_{\text{表}}$，因此