垫脚石（相关题 → 此题） 2024 年山东预赛 · P006570
先在三角形中以外心为向量原点，将垂心写为三个顶点向量之和，建立中心距离与边长平方和的联系。进入直三棱锥后，仍可先处理对面的三角形，再用三条正交棱把空间量转成同一个外接圆半径。
由平面中心恒等式的直接代入，进到空间中的投影定位与两组平方和消元。
培玉 · 一试
2025 年四川预赛
三条棱两两垂直的四面体与三角形两心定值
F4解答题立体几何综合
设四面体 满足 两两垂直，点 分别是 的外心和垂心。求证：
是定值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
从一个到三顶点等距的空间点向它们所在平面作正投影，垂距对三点相同，故投影仍到三点等距。垂心向量和公式来自三顶点等模时，向量和减一个顶点与其对边点积为零。
想法从哪来：三条从同一点出发的棱互相垂直，先以它们为坐标轴，四面体的空间结构便由三个正长度决定。对面三角形的垂心有一个自然候选：原点到该面沿法向量的投影。先用点积检验它到各顶点的连线垂直对边，再找一个同时到四顶点等距的盒子中心，将它正投影到对面得到外心。 分子虽然含棱长和外心到原点的距离，展开后可与对面外接圆半径平方比较。分母则不必继续用空间坐标：任何三角形以外心为原点时，垂心向量是三顶点向量之和，三段垂心距离平方和可直接展开。两边都归到同一个半径平方，定值就显出来，也同时保证分母不为零。
三条棱在 处两两垂直，最自然的是把它们作为三条坐标轴。分子可由三角形 的外接圆半径表示；分母则使用任意三角形的向量恒等式，恰好化为外接圆半径平方的三倍。
解答
取 为原点，并令
记
平面 的方程为
令
点 在平面 上，且
另外两式循环同理，故 正是 的垂心 。
再令
到 的距离相等。又因 是平面 的法向量，点
在平面 上，且是 在该平面上的正射影，所以 是 的外心。注意
于是
设 的面积与外接圆半径分别为 。三边平方为 ，并且
故
结合（1）（2），分子为
下面计算分母。以 为向量原点，记 的位置向量分别为 。由于
三角形垂心的向量为
因此
所以分母等于 。再由（3），原比值恒为
复核
代入平面方程得到 ，故确在平面内； 沿平面法向量，投影论证成立。
方法总结
直三棱锥问题可把互相垂直的棱设为坐标轴。外心宜从四面体的等距点投影得到，垂心宜从平面法向量得到；最后把分子、分母都归结为同一个三角形外接圆半径，就能显出定值。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
须发现垂心即原点到面的垂足、外心为外接球心投影，再用垂心向量恒等式将分子分母统一为外接半径平方。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！