培玉 · 一试
2011 年天津预赛 · 第 11 题
F2填空题函数的值域
函数 的定义域为 ，且满足
则 的最小值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把自变量换成倒数，得到关于 的两条线性方程。
思路
先消元求函数，再在正半轴求最小值。
解答
原式为
以 代入后，
将后一式乘 与前式相加，得到
对 ，
在 上为负、在 上为正，故最小值为
复核
将 及 代回原式恒为0。也可对正数 用均值不等式得到下界3，且仅在 同时取等。
方法总结
含倒数复合自变量的函数方程，可通过再次代入形成闭合线性系统。求出解析式后仍要使用原定义域讨论最值和取等点。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
倒数输入再次代入能闭合为两个函数值的线性系统；消元得到解析式后，仍须在原正半轴判断全局最小值并代回函数方程核验。
已记下，谢谢！