易混 2026 年甘肃预赛 · P005988
两题都是含参数的不等式，但“任意输入”和“存在输入”要求控制的方向不同。前者要保证最不利输入仍满足，后者只需找到最有利输入；不能因为都出现区间最值就机械使用同一个端点规则。
一题先统一对数底数，另一题把三角指数化为闭区间参数；还要分别验证对数定义域及三角参数的可达性。
培玉 · 一试
2025 年北京预赛
互补三角指数和的参数范围
F3填空题幂指对
若存在实数 使得不等式
成立，则正实数 的取值范围是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
令 ，把三角函数只保留为区间参数；关于 的函数为凸函数，最大值必在端点取得。
解答
令 ，则 ，所求条件等价于存在 使
当 时，
故 在 上的最大值在端点取得。又
所以最大值为 。 时原式左边恒为 ，不合题意；其余情形中，存在这样的 当且仅当
因此
复核
端点 可由 取得；当 时左边恰等于 ，故左端点应保留。
方法总结
指数中出现 时，可用二者和为 降为单参数问题；凸函数在闭区间上的最大值由端点控制。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
存在x需考最大值，令t=sin²x后先证两个指数和的最大值在端点，再比较两端差(a−1)²(a+1)确定正确阈值。
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