2021 年四川预赛

解答

由两顶点 $A(-2,0),B(2,0)$ 知 $a=2$。又离心率为 $\frac{1}{2}$，故 $c=1,b^2=a^2-c^2=3$，从而

设 $P=(u,v)$。由 $\overrightarrow{DE}=\frac{3}{5}\overrightarrow{DP}$，得

令

则 $Q$ 是 $AP$ 的中点，故 $Q\in AP$；同时

故 $Q\in BE$。因此这正是题设中的交点。

设 $Q=(x,y)$，则 $u=2x+2,v=2y$。代入椭圆方程，得

因 $P\ne A,B$，轨迹上应删去与它们对应的两点 $(-2,0),(0,0)$。